La dérivation des fonctions

Comme nous l'avons vu dans la démonstration du théorème de Rolle, une fonction qui possède un extremum (absolu sur $ I $ ou relatif sur un voisinage d'un point¹) en $\alpha$ doit avoir un nombre dérivée en $\alpha$ qui est nul. Donc c'est parmi les points qui annulent la dérivée qu'il faudra chercher les extrema d'une fonction. Mais attention, comme le montre la fonction cube en $ 0 $ , le fait que la dérivée s'annule ne suffit pas pour avoir un extremum. Nous pouvons énoncer deux résultats :

si possède en $x_{0}$ un extrema alors $f^{\prime }(x_{0})=0$ ,
si $f^{'}(x_{0})=0$ et si $f^{'}$ change de signe au voisinage de $x_{0}$ (c'est à dire que $f^{\prime }\left( x_{0}\right) =0$ et que la dérivée est d'un signe à droite de $x_{0}$ et du signe opposé à gauche de $x_{0}$ ) possède un extremum en $\alpha$ .

En effet, si $f^{\prime }$ change de signe au voisinage de $x_{0}$ , c'est que son sens de variation s'inverse en $x_{0}$ .

Remarque 13 Quand $f^{'}$ s'annule en $\alpha$ sans changer de signe, $\alpha$ est appelé point d'inflexion. Il y a donc parmi les points qui annulent la dérivée les extrema et les points d'inflexion !

... point ¹: rappelons que voisinage d'un point $x_{0}$ permet de désigner un intervalle contenant $x_{0}$ ; celui-ci n'est pas nécessairement fixé, mais peut s'écrire $% latex2html id marker 10000 $ \left[ x_{0}-\varepsilon ;x_{0}+\varepsilon ^{\prime }\right] $$

2.2.3. Recherche des extrema d'une fonction